21點是所有賭場遊戲中，唯一有機會擊敗莊家賺到錢的遊戲。Thorp在1962年提出21點的算牌技巧，證明只要按照『某種規則』下注，21點賭局的期望獲利會變為正。本文我們當然不是要探討該如何玩21點 (有興趣的可以google) ? 我們想要探討的問題：既然這是個會讓賭場賠錢的遊戲，為何21點仍在各大賭場屹立不搖? 我更好奇的是21點擊敗莊家的數學原理。
為何21點有利可圖?
21點說穿了就是玩家與莊家比大小的遊戲。當然前提是不超過21點，超過21點即為爆牌，直接判輸。玩家拿到最初的兩張牌後，可以選擇繼續拿牌(Hit)或是停牌(Stand)，在某些條件下可以選擇加倍下注(Double)，或是分牌(Split)。換句話說玩家的選擇只有四種(Hit、Stand、Double、Split)，有些賭場規則還增加了保險(Insurance)跟投降(Surrender)，本文先不考慮。因此，除了停牌以外，其餘三種都必須再加籌碼下去。而莊家在玩家結束後才開始補牌，必須一直補到17點以上方能停。Thorp於是根據各種可能的牌型分析較有利機率的打法。舉例來說，莊家拿到7點，玩家拿到16點，玩家該Hit還是Stand? 許多人會直覺玩家再補牌容易爆牌，然而這裡卻是玩家要繼續補牌較為有利。Thorp以贏的機率計算出所謂21點的【標準打法】。當然，不同21點的規則有不同的標準打法，當然這也有人整理好了，有興趣的讀者可查閱
blackjackinfo.com所提供的 Blackjack Basic Strategy Engine
然而，玩家背熟標準打法就萬無一失嗎? 錯! 基本上標準打法只是對賭客”最有利”的打法而已。最有利當然不代表會賺，因為整體期望值還是負的。一般來說，以標準打法玩21點，期望值大約-0.5%左右，也就是說每打1000元，大概還會輸5塊錢。雖然這已經是賭場裡大部分遊戲裡輸最少的，但畢竟負期望值的遊戲打越多還是輸越多。那到底如何變成正期望值呢?
我想沒有人會不同意賭局是機率(勝率)與賠率(賺賠比)的遊戲，要分辨一場賭局是否有利可圖? 最簡單的方式就是計算期望值。以21點賭局來說，賠率大部分皆為1，有就是說你壓住多少賭金，如果贏了可以賺得一倍；如果輸了，那壓下去的賭金就賠光。舉例來說，我賭100元，將100元籌碼放在賭桌上，如果贏了我就淨賺100元 (也就是拿回200元)。如果輸了，壓在賭桌上的100元就由莊家收走。
而按照21點標準打法計算的期望值，是假設每一次押的賭金都是一樣。如果我們能對所有牌型分辨出什麼時候對玩家有利，什麼時候對玩家不利，然後再對玩家有利的時候下比較大柱，那便有可能改變長期下來的期望值。
舉例來說，若將21點賭局分成A與B兩種情況。若A條件出現，贏牌的機會有51%；若B條件出現，贏的機會只剩48%。因為賠率都是1，且假設A與B出現的機率分別為40%與60%，每次下注1元，計算期望獲利的方式為
A期望獲利：0.51*1 + 0.49*-1 = 0.02 (有利可圖)
B期望獲利：0.46*1 + 0.54*-1 = -0.08 (無利可圖)
整體期望獲利(A與B)：40%*0.02 + 60%*(-0.08) = -0.04 < 0 (負的，無利可圖)
但如果我們考慮部位大小，在A情況改下注8元，B情況維持基本下注1元，則期望獲利變為：
A期望獲利：0.51*8+0.49*-8 = 0.16 (有利可圖)
B期望獲利：0.46*1+0.54*-1 = -0.08 (無利可圖)
整體期望獲利(A與B)：40%*0.16+60%*(-0.08) = 0.016 > 0 (正的，有利可圖)
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